Métodos numéricos para problemas no locales de evolución
El objetivo de este trabajo es estudiar aproximaciones numéricas para problemas de evolución de la forma C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), donde (-Δ)s representa el operador Laplaciano fraccionario en su forma integral y C∂αtu(x,t) denota la derivada de Caputo. Para ser más precisos, (-Δ)su(x)= C(n,s)...
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| Autor principal: | |
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| Formato: | Tesis Doctoral |
| Lenguaje: | Inglés |
| Publicado: |
2019
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n6618_MastrobertiBersetche |
| Aporte de: |
| Sumario: | El objetivo de este trabajo es estudiar aproximaciones numéricas para problemas de evolución de la forma C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), donde (-Δ)s representa el operador Laplaciano fraccionario en su forma integral y C∂αtu(x,t) denota la derivada de Caputo. Para ser más precisos, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn [(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)] dy, y C∂αtu(x,T)= { [1/r(k-α)]∫t0[1/(t-r)^α-k+1]∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<α<k, k∈ℕ, ∂ku/∂tk(x,t) if α=k∈ℕ. Estudiamos existencia, unicidad y regularidad de las soluciones en el contexto lineal(es decir, f = f(x; t)). Los casos tratados incluyen contrapartes fraccionarias de los modelos de difusión estándar y de ondas. Elementos finitos lineales se utilizan para la variable espacial y técnicas de cuadratura de convolución son usadas para tratar el operador fraccionario en la variable temporal. Estimaciones del error, uniformes en los parámetros de discretización para valores de t lejos de cero, son proporcionadas. Estos resultados son extendidos al caso semilineal con f(u) = u-u^3, siendo este el término no lineal que aparece en las ecuaciones clásicas de Allen-Cahn, utilizadas para modelar la separación de fases para aleaciones binarias. Adicionalmente, el comportamiento asintótico de las soluciones para s→0 es estudiado en este contexto particular. Detalles de implementación, particularmente para el método de elementos finitos, en el cual se ven involucradas matrices de rigidez fraccionarias no esparsas y cuadraturas numéricas para núcleos singulares, son cuidadosamente expuestos. |
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