Inmersión de espacios métricos convexos en espacios euclideanos

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Una parte considerable del tratado "Theory and Applicationsof Distance Geometry" (Oxford, 1953) de L. M. Blumenthal, estádedicada a la consideración del siguiente problema genérico: Problema I: "Dado un espacio métrico "modelo" M, fijar condicionesen la métrica de un espacio...

Descripción completa

Detalles Bibliográficos
Autor principal:	Toranzos, Fausto Alfredo
Formato:	Tesis Doctoral
Lenguaje:	Español
Publicado:	1966
Acceso en línea:	https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1279_Toranzos
Aporte de:	Biblioteca Digital - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA) de Universidad de Buenos Aires

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En cambio en el problema I,que como el mismo Blumenthal lo destaca en la página 91 del citadolibro es más general y difícil que el II, solo obtiene solucionesparciales y poco satisfactorias. El propósito central de esta tesis es dar solución completaal problema I en los casos concretos antes mencionados. Un segundo propósito, de tipo metodológico, es desarrollar una teoría de subconjuntosconvexos de un espacio métrico, de eficacia análoga ala de la convexidad lineal. El primer capítulo consiste en una reseña de los antecedenteshistóricos del problema central y las soluciones parciales querecibió. En el segundo capítulo discutimos las interrelaciones de diversasdefiniciones de convexidad de espacios métricos, e introducimosuna definición de subconjunto convexo de un espacio métrico,que conserva la más importante característica de la convexidad lineal,su interseccionalidad. Esto nos permite desarrollar en el siguiente capítulo unateoría de cápsula convexa análoga a la del caso lineal. Incidentalmentecaracterizamos los espacio métricos cuyas bolas son convexasmediante la propiedad de que el diámetro de un conjunto arbitrariocoincide con el de su cápsula convexa. El cuarto capítulo es una discusión detallada de la "propiedad euclideana débil de cuatro puntos" de Blumenthal, así como de otras propiedades más débiles que ésta, pero que, en los casos significativos coinciden con ella. En los capítulos quinto y sexto se desarrollan las herramientas básicas para atacar los problemas fundamentales. Se estudianaquí los conceptos de "cápsula afín" (análogo al de variedad lineagenerada), "espacio de tipo n" (análogo al de dimensión algebraica "Simplex", etc. El concepto de "punto internal" es introducido en el capítuloséptimo. La importancia de esta noción reside en que una de ladiferencias metodológicas entre este trabajo y los de Blumenthalconsiste en que dicho autor exige al espacio en estudio la "convexidadexterna", que en nuestra terminología equivale a pedirque todo punto sea internal, restringiéndose a priori al problema II. Los resultados centrales de este capítulo son:(a) Equivalenciaentre "tipo n" y "dimensión topológica n" (según Menger Urysohn); (b) Versión métrica del famoso teorema de Riesz sobrecaracterización de espacios normados finito-dimensionales, porla compacidad local. En el capítulo octavo obtenemos nuestro primer teorema fundamentalque responde al problema I cuando el modelo M es E^n. Elprocedimiento es el siguiente : (i) Definimos la noción de "funcional afín", análogo al de funcionallineal en un espacio vectorial. (ii) Bajo ciertas condiciones, una determinada familia de funcionalesafines, dotada de las operaciones puntuales, es un espacio vectorial de dimensión n. (iii) El dual algebraico del espacio considerado en (iii), provistode una métrica conveniente, es congruente con E^n. (iv) Procediendo como en el Análisis Funcional (inyección en eldoble dual) podemos construir una isometría del espacio originalen el espacio métrico mencionado en (iii). El resto de este capítulo consiste en varios corolarios y refinamientosdel teorema fundamental. En el capítulo noveno investigamos en concepto de "subespaciode deficiencia l" análogo al de hiperplano de un espacio vectorial,y sus conexiones con las funcionales afines y los "planosde Leibniz". En el capítulo décimo estudiamos (en tres diferentes instancias)la posibilidad de extender a todo el espacio una isometríadefinida en un subconjunto. Utilizamos luego estos lemas para obteneruna nueva demostración del teorema del capítulo VIII, y unsegundo teorema fundamental en que fijamos condiciones para queel espacio dado sea isométrico a un subconjunto de H. Finalmente, en el último capítulo introducimos la noción de "espacio perfectamente estrellado", que generaliza ampliamente ala de espacio convexo, y extendemos a tales espacios los resultadosde los capítulos VIII y X. El método es predominantemente geométrico, y las principalesherramientas son la propiedad de Blumenthal y la teoria de convexidad. Fil: Toranzos, Fausto Alfredo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. 1966 Tesis Doctoral PDF Español info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n1279_Toranzos

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