Estados KMS y teoría modular en álgebras topológicas
En el presente trabajo analizamos qué estructuras propias de la teoría modular de Tomita y Takesaki en álgebras de von Neumann estándar pueden extenderse al caso de ⋆-álgebras topológicas más generales. Para ello demostramos, en primer lugar, que es posible establecer una biyección entre el espacio...
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Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2006
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ESTADOS KMS TEORIA MODULAR TEOREMA GNS ALGEBRAS TOPOLOGICAS KMS STATES MODULAR THEORY GNS THEOREM TOPOLOGICAL *-ALGEBRAS Iguri, Sergio M. Estados KMS y teoría modular en álgebras topológicas |
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En el presente trabajo analizamos qué estructuras propias de la teoría modular de Tomita y Takesaki en álgebras de von Neumann estándar pueden extenderse al caso de ⋆-álgebras topológicas más generales. Para ello demostramos, en primer lugar, que es posible establecer una biyección entre el espacio de formas lineales positivas continuas sobre una ⋆-álgebra con unidad localmente convexa A y el conjunto Cycl(A) de las clases de equivalencia unitaria de sus ⋆-representaciones cerradas débilmente continuas fuertemente c´ıclicas, generalizando así el clásico teorema de la construcción GNS que se plantea habitualmente en el marco de las C⋆-álgebras con unidad. Probamos asimismo que, en el caso en que el álgebra A es tonelada y cuasicompleta, esta biyección puede extenderse, siempre a menos de equivalencia unitaria, a una biyección entre el conjunto de los subespacios hilbertianos inmersos en el espacio anti- dual topológico d´ebil de A, A×, que son ⋆-estables frente a la acción antidual regular izquierda de A sobre A× y la colecci´on de los respectivos núcleos re- reproductivos. A continuación demostramos que esta biyección múltiple puede hacerse un isomorfismo c ́onico trasladando adecuadamente la estructura de cono regular estrictamente convexo que presenta el conjunto de subespacios hilbertianos al que nos referimos a los demás espacios involucrados en el teorema. Por último, discutimos las implicaciones de estos resultados en el contexto de los estados KMS y de la teoría modular de Tomita-Takesaki. En particular, demostramos que si β es cualquier n´umero real y A es una ⋆-álgebra con unidad localmente convexa tonelada cuasicompleta nuclear sobre la que act´ua un grupo continuo monoparamétrico de ⋆-automorfismos de crecimiento a lo sumo polinomial α, toda funcional (α, β)-KMS sobre A tiene una única descomposición integral en t´erminos de funcionales (α, β)-KMS extremales. |
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tesis:tesis_n3952_Iguri2023-10-02T19:54:42Z Estados KMS y teoría modular en álgebras topológicas KMS states and modular theory in topological *-algebras Iguri, Sergio M. Castagnino, Mario Alberto ESTADOS KMS TEORIA MODULAR TEOREMA GNS ALGEBRAS TOPOLOGICAS KMS STATES MODULAR THEORY GNS THEOREM TOPOLOGICAL *-ALGEBRAS En el presente trabajo analizamos qué estructuras propias de la teoría modular de Tomita y Takesaki en álgebras de von Neumann estándar pueden extenderse al caso de ⋆-álgebras topológicas más generales. Para ello demostramos, en primer lugar, que es posible establecer una biyección entre el espacio de formas lineales positivas continuas sobre una ⋆-álgebra con unidad localmente convexa A y el conjunto Cycl(A) de las clases de equivalencia unitaria de sus ⋆-representaciones cerradas débilmente continuas fuertemente c´ıclicas, generalizando así el clásico teorema de la construcción GNS que se plantea habitualmente en el marco de las C⋆-álgebras con unidad. Probamos asimismo que, en el caso en que el álgebra A es tonelada y cuasicompleta, esta biyección puede extenderse, siempre a menos de equivalencia unitaria, a una biyección entre el conjunto de los subespacios hilbertianos inmersos en el espacio anti- dual topológico d´ebil de A, A×, que son ⋆-estables frente a la acción antidual regular izquierda de A sobre A× y la colecci´on de los respectivos núcleos re- reproductivos. A continuación demostramos que esta biyección múltiple puede hacerse un isomorfismo c ́onico trasladando adecuadamente la estructura de cono regular estrictamente convexo que presenta el conjunto de subespacios hilbertianos al que nos referimos a los demás espacios involucrados en el teorema. Por último, discutimos las implicaciones de estos resultados en el contexto de los estados KMS y de la teoría modular de Tomita-Takesaki. En particular, demostramos que si β es cualquier n´umero real y A es una ⋆-álgebra con unidad localmente convexa tonelada cuasicompleta nuclear sobre la que act´ua un grupo continuo monoparamétrico de ⋆-automorfismos de crecimiento a lo sumo polinomial α, toda funcional (α, β)-KMS sobre A tiene una única descomposición integral en t´erminos de funcionales (α, β)-KMS extremales. In this thesis we analyse which structures from Tomita-Takesaki modular theory on von Neumann algebras can be extended when the topology on the algebra is more general. In order to do that, we prove that there is a bijection between the space of positive linear continuous forms on a locally con- vex ⋆-algebra A with unit and the set Cycl(A) of unitary equivalence classes of its closed weakly continuous strongly cyclic ⋆-representations, a bijection that generalizes the classical GNS construction theorem usually proved for the unital C⋆-algebra case. After that we prove that, when the algebra A is barrelled and quasi-complete, this bijection can be extended, up to unitary equivalence, to a bijection between the set of Hilbert subspaces embedded in the topological antidual space of A, A×, that are ⋆-invariant under the regular left antidual action of A on A×, and the collection of the corresponding po- sitive kernels relative to A×. It is also proved that this bijection can be made a cone isomorphism by translating the strict convex regular cone structure the Hilbert subspaces set has to the other spaces involved in the theorem. We discuss the implications of these results in the context of KMS states and Tomita-Takesaki modular theory. In particular, if β is any real number, A is a locally convex quasi-complete barrelled nuclear ⋆-algebra with unit and α is a continuous monoparametric group of ⋆-automorphisms of at most poli- nomial growth acting on A, every (α, β)-KMS functional on A has a unique integral decomposition in terms of extremal (α, β)-KMS functionals. Fil: Iguri, Sergio M.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 2006 info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion application/pdf spa info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n3952_Iguri |