Una inversa a derecha para el operador divergencia en dominios con cúspides
En esta tesis estudiamos la existencia de soluciones del problema de la divergencia en dominios con cúspides exteriores. Es sabido que los resultados clásicos en espacios de Sobolev standard, los cuales son una herramienta básica para el análisis variacional de las ecuaciones de Stokes, no valen par...
Guardado en:
| Autor principal: | |
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| Otros Autores: | |
| Formato: | Tesis doctoral publishedVersion |
| Lenguaje: | Inglés |
| Publicado: |
Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
2010
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n4725_LopezGarcia http://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n4725_LopezGarcia_oai |
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Universidad de Buenos Aires |
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Repositorio Digital de la Universidad de Buenos Aires (UBA) |
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OPERADOR DIVERGENCIA DOMINIOS CON CUSPIDES EXTERIORES ECUACIONES DE STOKES DESIGUALDAD DE KORN ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO DIVERGENCES OPERATOR DOMAINS WITH EXTERNAL CUSPS STOKES EQUATIONS KORN INEQUALITY WEIGHTED SOBOLEV SPACES |
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OPERADOR DIVERGENCIA DOMINIOS CON CUSPIDES EXTERIORES ECUACIONES DE STOKES DESIGUALDAD DE KORN ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO DIVERGENCES OPERATOR DOMAINS WITH EXTERNAL CUSPS STOKES EQUATIONS KORN INEQUALITY WEIGHTED SOBOLEV SPACES López García, Fernando Una inversa a derecha para el operador divergencia en dominios con cúspides |
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OPERADOR DIVERGENCIA DOMINIOS CON CUSPIDES EXTERIORES ECUACIONES DE STOKES DESIGUALDAD DE KORN ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO DIVERGENCES OPERATOR DOMAINS WITH EXTERNAL CUSPS STOKES EQUATIONS KORN INEQUALITY WEIGHTED SOBOLEV SPACES |
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En esta tesis estudiamos la existencia de soluciones del problema de la divergencia en dominios con cúspides exteriores. Es sabido que los resultados clásicos en espacios de Sobolev standard, los cuales son una herramienta básica para el análisis variacional de las ecuaciones de Stokes, no valen para este tipo de dominios. Una clase importante de dominios con cúspide exteriores es la de los Hölder-α, con 0 menor α menor 1. Primero, probamos que si Ω es un dominio Hölder-α plano simplemente conexo existen soluciones de div u = f en un espacio de Sobolev con peso apropiado. Los pesos considerados son potencias de la distancia al borde de dominio. Luego, para una clase particular de dominios Hölder-α acotados Ω ⊂ Rn , con cúspides exteriores de dimensión entera m ≤ n − 2, mostramos la existencia de soluciones en espacios de Sobolev con peso de la ecuación de divergencia. Los pesos considerados en este caso son potencias de la distancia a la cúspide. Este resultado es más fuerte que el que involucra la distancia a ∂Ω. También, obtenemos una versión de la desigualdad de Korn con peso para esta clase de dominios y pesos. Las potencias en los pesos de los resultados obtenidos en este trabajo resultan optimas. Como una aplicación de los resultados previos, probamos la existencia y unicidad de soluciones variacionales de las ecuaciones de Stokes en espacios de Sobolev con peso apropiados. Como consecuencia, obtenemos la existencia de una solución (u, p) ∈ H0^1 (Ω)^n × Lr (Ω), con r menor 2 dependiendo de la potencia de la cúspide, donde u denota la velocidad y p la presión. Por otro lado, damos condiciones suficientes para que una potencia de la distancia a un compacto esté en la clase de Muckenhoupt Ap . Este resultado es auxiliar en este trabajo aunque nos parece que tiene interés en sí mismo. Finalmente, definimos nuevos contraejemplos para el problema de la divergencia y la desigualdad de Korn en dominios cuspidales, donde las cúspides no son necesariamente |
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I28-R145-tesis_n4725_LopezGarcia_oai2023-04-26 Durán, Ricardo G. López García, Fernando 2010 En esta tesis estudiamos la existencia de soluciones del problema de la divergencia en dominios con cúspides exteriores. Es sabido que los resultados clásicos en espacios de Sobolev standard, los cuales son una herramienta básica para el análisis variacional de las ecuaciones de Stokes, no valen para este tipo de dominios. Una clase importante de dominios con cúspide exteriores es la de los Hölder-α, con 0 menor α menor 1. Primero, probamos que si Ω es un dominio Hölder-α plano simplemente conexo existen soluciones de div u = f en un espacio de Sobolev con peso apropiado. Los pesos considerados son potencias de la distancia al borde de dominio. Luego, para una clase particular de dominios Hölder-α acotados Ω ⊂ Rn , con cúspides exteriores de dimensión entera m ≤ n − 2, mostramos la existencia de soluciones en espacios de Sobolev con peso de la ecuación de divergencia. Los pesos considerados en este caso son potencias de la distancia a la cúspide. Este resultado es más fuerte que el que involucra la distancia a ∂Ω. También, obtenemos una versión de la desigualdad de Korn con peso para esta clase de dominios y pesos. Las potencias en los pesos de los resultados obtenidos en este trabajo resultan optimas. Como una aplicación de los resultados previos, probamos la existencia y unicidad de soluciones variacionales de las ecuaciones de Stokes en espacios de Sobolev con peso apropiados. Como consecuencia, obtenemos la existencia de una solución (u, p) ∈ H0^1 (Ω)^n × Lr (Ω), con r menor 2 dependiendo de la potencia de la cúspide, donde u denota la velocidad y p la presión. Por otro lado, damos condiciones suficientes para que una potencia de la distancia a un compacto esté en la clase de Muckenhoupt Ap . Este resultado es auxiliar en este trabajo aunque nos parece que tiene interés en sí mismo. Finalmente, definimos nuevos contraejemplos para el problema de la divergencia y la desigualdad de Korn en dominios cuspidales, donde las cúspides no son necesariamente This thesis deals with solutions of the divergence equation on domains with external cusps. It is known that the classic results in standard Sobolev spaces, which are basic in the variational analysis of the Stokes equations, are not valid for this kind of domains. An important class of domains which could present external cusps is the Hölder-α, witho 0 minor than α minor than 1. First, we prove that if Ω is a planar simply connected Hölder-α domain there exist solutions of div u = f in appropriate weighted Sobolev spaces. The weights considered are powers of the distance to the boundary. Then, for particular bounded Hölder-α domains Ω ⊂ Rn which have cusps of integer dimension m ≤ n−2, we show existence of solutions of the divergence equation in weighted Sobolev spaces. The weights used in this case are powers of the distance to the cusp. It provides a result stronger that the one with the distance to ∂Ω. Also, we obtain weighted Korn type inequalities for this class of domains and weights. Moreover, we show that the powers of the distance in the results obtained in this thesis are optimal. As an application of the previous divergence results, we prove the well posedness of the Stokes equations in appropriate weighted Sobolev spaces. In consequence, we obtain the existence of a solution (u, p) ∈ H0^1 (Ω)^n × Lr (Ω) for some r minor than 2 depending on the power of the cusp, where u is the velocity and p the pressure. On the other hand, we give sufficient conditions in order to determinate when a power of the distance to a compact set belongs to the Muckenhoupt class Ap . In this thesis this is an auxiliary result, however, we consider it interesting in itself. Finally, we define new counterexamples for the divergence problem and Korn inequality on domains with external cusps arbitrarily narrow. Fil: López García, Fernando. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina. application/pdf https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n4725_LopezGarcia eng Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales info:eu-repo/semantics/openAccess https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar OPERADOR DIVERGENCIA DOMINIOS CON CUSPIDES EXTERIORES ECUACIONES DE STOKES DESIGUALDAD DE KORN ESPACIOS DE SOBOLEV CON PESO DIVERGENCES OPERATOR DOMAINS WITH EXTERNAL CUSPS STOKES EQUATIONS KORN INEQUALITY WEIGHTED SOBOLEV SPACES Una inversa a derecha para el operador divergencia en dominios con cúspides A right inverse of the divergence operator on domains with cusps info:eu-repo/semantics/doctoralThesis info:ar-repo/semantics/tesis doctoral info:eu-repo/semantics/publishedVersion http://repositoriouba.sisbi.uba.ar/gsdl/cgi-bin/library.cgi?a=d&c=aextesis&d=tesis_n4725_LopezGarcia_oai |