Dualidades en el efecto hall cuántico fraccionario.
En este trabajo tratamos el tema de dualidades en el Efecto Hall Cuántico, los electrones en dos dimensiones con un campo magnético. Comenzamos por dar una motivación de la materia, de por que es interesante, y de su interpretación como fenomeno colectivo. Seguimos con una rápida descripción de l...
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Autor principal: | |
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Formato: | Tesis NonPeerReviewed |
Lenguaje: | Español |
Publicado: |
2017
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Materias: | |
Acceso en línea: | http://ricabib.cab.cnea.gov.ar/653/1/Oda.pdf |
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Sumario: | En este trabajo tratamos el tema de dualidades en el Efecto Hall Cuántico, los electrones
en dos dimensiones con un campo magnético.
Comenzamos por dar una motivación de la materia, de por que es interesante, y de su
interpretación como fenomeno colectivo. Seguimos con una rápida descripción de las
formas clásicas y cuánticas de estudiar el problema, haciendo hincapié de por que esta
ultima perspectiva es particularmente compleja. Haremos hincapié primero en la versión
sin interacciones, para ganar algo de intuición sobre como son los estados cuánticos del
sistema y los niveles de energía. Luego prendemos las interacciones y mostramos por
que un estudio detallado no puede hacerse mediante el método de perturbaciones.
Describimos entonces una forma distinta, no perturbativa, de entender al sistema interactuante:
las dualidades. Si podemos probar que el sistema complejo, fuertemente
interactuante y altamente correlacionado, es dual a un sistema bien conocido y quizás
incluso sencillo, hemos ganado mucho respecto a la visión perturbativa.
En esta línea mencionamos el trabajo pionero de Halperin, Lee y Read, quienes introducen
el concepto de fermión compuesto como una cuasipartícula dual a los electrones
en un campo magnético. Mas recientemente Dam Son propone una nueva dualidad,
destacando la importancia de la fracción de llenado v = 1/2 y motivado por una aparente
carencia de simetría de la teoría HLR, donde el fermión compuesto es en realidad
un fermión de Dirac relativista. El trabajo de Son dio origen a una red de dualidades
que se estudian con técnicas de teorías de campos, y que son nuestro objeto de estudio.
En particular, estudiamos una reciente dualidad supersimétrica conocida como mirror
symmetry y algunos de sus derivados.
A continuación damos un resumen de una herramienta que sera fundamental en el
resto del trabajo: la supersimetría. Introducimos los conceptos basicos de supercampo
y superespacio, junto con las supercargas y los multipletes. En particular nos interesa
describir supermultipletes de N = 4 en 2+1 dimensiones.
Luego pasamos a exponer en detalle la dualidad mirror symmetry. Esta dualidad rela-
ciona dos teorías supersimetricas, que llamaremos teoría A y teoría B. Mas tarde las
identicaremos con el QHE y los fermiones compuestos. La dualidad se aprovecha de
propiedades útiles de la supersimetría para calcular correcciones cuanticas de forma
tanto perturbativa como no perturbativa. Deformaremos luego la dualidad rompiendo
supersimetrías, con el objetivo de encontrar teorías realistas y con la esperanza de obtener
física interesante en el límite de bajas energías. Logramos probar, de hecho, una
dualidad interesante que proponemos es la dualidad de Son.
Profundizamos en el estudio de la dualidad complementando con cálculos numéricos
que nos permiten encontrar observables que de otra forma serían inaccesibles analíticamente.
En particular nos interesa la llamada entropía de entrelazamiento, y de como
es capaz de detectar la existencia de fermiones en una superficie de Fermi a través del
fenomeno conocido como violación logarítmica de la ley de área. Buscamos numéricamente,
entonces, la violación logarítmica de ambos lados de la dualidad, y tratamos de
relacionar ambas visiones mediante la conjetura de que la formula de Widom es valida
incluso en presencia de interacciones.
Para ello recurrimos a dos metodos numericos, primero a la diagonalizacion exacta, y
luego al DMRG. El ultimo ha demostrado ampliamente ser uno de los mas efectivos a
la hora de atacar problemas en una dimensión espacial con correlaciones grandes. Para
poder valernos de el aplicamos una reducción dimensional sobre el problema 2D del
Efecto Hall al ponerlo en un cilindro.
Una vez obtenidos los resultados buscados, tratamos de rescatar la mayor informacion posible filtrando efectos de tamaño finito. Si bien concluir resultados cuantitativos
resulta difícil, vemos claramente la violación logarítmica y la dependencia con la extensividad
del cilindro, lo cual nos hace concluir la existencia de una superficie de Fermi.
También encontramos que la entropía resulta ser una cantidad robusta que depende
poco de variaciones en el potencial aplicado, lo cual también es consistente con la
conjetura de Widom. Por lo tanto, creemos que es una medida interesante que merece
mucha mas atención como herramienta en dualidades y promete ser la fuente de nuevos
trabajos.
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