Sistemas mecánicos discretos con vínculos de orden 2.
La Mecánica Discreta Variacional tiene sus raíces en los años ’60 y desde entonces ha habido un gran progreso en el estudio de sistemas mecánicos libres o con vínculos holónomos, motivado por la construcción de integradores numéricos variacionales de sus ecuaciones de movimiento. La ventaja que...
Guardado en:
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| Publicado: |
2011
|
| Materias: | |
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Repositorio Institucional Centro Atómico Bariloche e Instituto Balseiro (RICABIB) |
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Física matemática Geometic mechanics Mecánica geométrica Variational integrators Integradores variacionales Dynamical systems Sistema dinámicos Nonholonomic mechanics Mecánica No holónoma Borda, Nicolás Sistemas mecánicos discretos con vínculos de orden 2. |
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La Mecánica Discreta Variacional tiene sus raíces en los años ’60 y desde
entonces ha habido un gran progreso en el estudio de sistemas mecánicos
libres o con vínculos holónomos, motivado por la construcción de integradores
numéricos variacionales de sus ecuaciones de movimiento. La ventaja
que presentan los mismos frente a otros métodos numéricos es que tienen
en cuenta la estructura geométrica subyacente del problema mecánico y, por
ende, pueden ser diseñados para respetar en algún sentido la conservación
de momentos, energía o estructura simpléctica. La dinámica en el caso con
vínculos no holónomos de primer orden fue introducida recientemente, en
el año 2001. En general no se conocen demasiados resultados teóricos acerca
de los integradores no holónomos, pero sí se sabe de su buen desempeño en
la realización de experimentos numéricos.
En este trabajo de investigación proponemos una contraparte discreta de
los llamados sistemas mecánicos con vínculos de orden 2. Estos han aparecido
en modelos simplificados de cuerpos viscoelásticos en rodadura, sistemas
con fricción y aplicaciones al control de servomecanismos, como es el
caso de los denominados vínculos de Lyapunov, que dan lugar a un método
no lineal de estabilización asintótica de sistemas mecánicos subactuados.
Nuestra presentación consiste en una revisión y generalización de algunos
resultados para sistemas libres y con vínculos de orden 1, tanto continuos
como discretos, así como también del caso de orden 2 continuo. Luego, damos
una propuesta de definición de sistemas mecánicos discretos con vínculos
de orden 2 (SDV2s); mostramos distintas expresiones de sus ecuaciones
de movimiento; probamos un teorema local de existencia y unicidad de soluciones
y analizamos la evolución de una forma simpléctica asociada.
A lo largo del trabajo exponemos varios ejemplos. Por un lado, simulamos
la estabilización mediante vínculos de orden 1 de un péndulo invertido
con carro. Por otro, en el caso de orden 2 ponemos a prueba algunos integradores
construidos a partir de nuestra propuesta de SDV2 aproximando
la evolución de dos sistemas mecánicos: una partícula en un plano obligada
a moverse con una curvatura dada mediante la acción de un campo magnético,
y la estabilización mediante un vínculo de Lyapunov de un péndulo
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I25-R131-3182012-04-24T19:07:17Z Sistemas mecánicos discretos con vínculos de orden 2. Discrete mechanical systems with second order constraints. Borda, Nicolás Física matemática Geometic mechanics Mecánica geométrica Variational integrators Integradores variacionales Dynamical systems Sistema dinámicos Nonholonomic mechanics Mecánica No holónoma La Mecánica Discreta Variacional tiene sus raíces en los años ’60 y desde entonces ha habido un gran progreso en el estudio de sistemas mecánicos libres o con vínculos holónomos, motivado por la construcción de integradores numéricos variacionales de sus ecuaciones de movimiento. La ventaja que presentan los mismos frente a otros métodos numéricos es que tienen en cuenta la estructura geométrica subyacente del problema mecánico y, por ende, pueden ser diseñados para respetar en algún sentido la conservación de momentos, energía o estructura simpléctica. La dinámica en el caso con vínculos no holónomos de primer orden fue introducida recientemente, en el año 2001. En general no se conocen demasiados resultados teóricos acerca de los integradores no holónomos, pero sí se sabe de su buen desempeño en la realización de experimentos numéricos. En este trabajo de investigación proponemos una contraparte discreta de los llamados sistemas mecánicos con vínculos de orden 2. Estos han aparecido en modelos simplificados de cuerpos viscoelásticos en rodadura, sistemas con fricción y aplicaciones al control de servomecanismos, como es el caso de los denominados vínculos de Lyapunov, que dan lugar a un método no lineal de estabilización asintótica de sistemas mecánicos subactuados. Nuestra presentación consiste en una revisión y generalización de algunos resultados para sistemas libres y con vínculos de orden 1, tanto continuos como discretos, así como también del caso de orden 2 continuo. Luego, damos una propuesta de definición de sistemas mecánicos discretos con vínculos de orden 2 (SDV2s); mostramos distintas expresiones de sus ecuaciones de movimiento; probamos un teorema local de existencia y unicidad de soluciones y analizamos la evolución de una forma simpléctica asociada. A lo largo del trabajo exponemos varios ejemplos. Por un lado, simulamos la estabilización mediante vínculos de orden 1 de un péndulo invertido con carro. Por otro, en el caso de orden 2 ponemos a prueba algunos integradores construidos a partir de nuestra propuesta de SDV2 aproximando la evolución de dos sistemas mecánicos: una partícula en un plano obligada a moverse con una curvatura dada mediante la acción de un campo magnético, y la estabilización mediante un vínculo de Lyapunov de un péndulo con disco. Discrete Variational Mechanics has its roots in the 60’s and, since then, a great progress has taken place in the study of free mechanical systems or systems with holonomic constraints, motivated by the construction of variational numeric integrators of its equations of motion. The advantage presented by these, when compared to other numerical methods, is that they take into account the underlying geometrical structure of the mechanical problem and, therefore, can be designed to respect, in some way, the momentum, energy, or symplectic structure conservation. The dynamic in the case of nonholonomic constraints was recently introduced in 2001. In general, not many theoretical results are known about nonholonomic integrators. Their good performance in numerical experiments is, nonetheless, well established. In this piece of research work we propose a discrete counterpart of second order constraint mechanical systems. These have presented themselves in simplified models of rolling viscoelastic bodies, frictional systems and servomechanism control applications, such as Lyapunov constraints, which give place to a nonlinear asymptotic stabilizing method of underactuated mechanical systems. Our presentation consists of a revision and generalization of some free system and first order constraint results, both continuum and discrete, as well of the second order constraint case. Then, we propose a definition for discrete mechanical systems with second order constraints (SDV2s); we show different expressions for their equations of motion; we prove a local existence and uniqueness of solutions theorem and analyse the evolution of an associated symplectic form. Throughout this piece of work we expose several examples. On the one hand, we simulate stabilization by first order constraints of an inverted pendulum on a car. On the other hand, in the second order case we test some integrators built from our SDV2 proposal by approximating the evolution of two mechanical systems: a particle on a plane, forced to move on a given curve by the effect of a magnetic field; and the stabilization of a disc pendulum mediated by a Lyapunov constraint. 2011-12-06 Tesis NonPeerReviewed application/pdf http://ricabib.cab.cnea.gov.ar/318/1/1Borda.pdf es Borda, Nicolás (2011) Sistemas mecánicos discretos con vínculos de orden 2. / Discrete mechanical systems with second order constraints. Maestría en Ciencias Físicas, Universidad Nacional de Cuyo, Instituto Balseiro. http://ricabib.cab.cnea.gov.ar/318/ |