Una contribución al desarrollo de los qM_3-retículos
En esta tesis investigamos la clase de los qM3 retículos y la de los mM3−retículos o M3−retículos monádicos, que son M3−retículos dotados de un cuantificador existencial, en el primer caso, y en el segundo de dos cuantificadores: existencial y universal. También estudiamos la clase de los M3−retí...
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| Autor principal: | |
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| Otros Autores: | |
| Formato: | tesis doctoral |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
2016
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | http://repositoriodigital.uns.edu.ar/handle/123456789/3488 |
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Matemáticas Retículos, teoría de M_3-retículos con operadores Dualidades topológicas Congruencias Álgebras subdirectamente irreducibles |
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Matemáticas Retículos, teoría de M_3-retículos con operadores Dualidades topológicas Congruencias Álgebras subdirectamente irreducibles Jiménez, María A. Una contribución al desarrollo de los qM_3-retículos |
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En esta tesis investigamos la clase de los qM3 retículos y la de los mM3−retículos o
M3−retículos monádicos, que son M3−retículos dotados de un cuantificador existencial,
en el primer caso, y en el segundo de dos cuantificadores: existencial y universal. También
estudiamos la clase de los M3−retículos k–cíclicos, que son M3−retículos dotados de un
automorfismo de período k. Hemos organizado el trabajo en cinco capítulos, divididos a
su vez en secciones y subsecciones en algunos casos.
El Capítulo 1 está dividido en cuatro secciones. En las primeras, repasamos resultados
principales sobre retículos distributivos y exponemos distintos conceptos de álgebra universal
y espacios de Priestley. Todos los resultados indicados son conocidos. Los hemos
incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las definiciones. En la
última sección, introducimos los M3−retículos definidos por A. V. Figallo a sugerencia de
A. Monterio en Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matemática, XXI, 1987.
En la primera sección del Capítulo 2, indicamos una dualidad topológica para los
M3−retículos. En la segunda sección, utilizando la dualidad, caracterizamos el retículo de
las congruencias de estas álgebras y determinamos las álgebras simples y subdirectamente
irreducibles, reencontrando los resultados que Figallo había establecido de manera algebraica,
de una forma diferente, vía la topología. Luego nos dedicamos al estudio de las
congruencias principales y booleanas, demostrando que ambas coinciden, están definidas
ecuacionalmente (CPDE) y son congruencias regulares y uniformes. Además probamos
que la variedad M3, es a congruencias conmutativas, que es una variedad filtral y discriminadora
y tiene la propiedad de extensión de congruencias (PEC).
El Capítulo 3, está dividido en cuatro secciones. La primera, está dedicada al estudio
del sistema determinante de unM3−retículo finito, mostrando que el conjunto ordenado de
sus elementos primos, determina la estructura del mismo. En la segunda y tercera sección,
indicamos un método para construir los M3−automorfismos y los M3−epimorfismos,
cuando se trata de M3−retículos finitos, y determinamos en cada caso el número de los
mismos. En la cuarta sección, referida a los M3−retículos k–cíclicos, probamos que la
variedad es semisimple y determinamos el cardinal del álgebra libre finitamente generada.
Comprobamos con esos resultados que dicha variedad es finitamente generada y localmente
finita. Concluimos la sección estableciendo el número de estructuras cíclicas, no isomorfas,
que se pueden definir sobre un M3−retículo finito.
En el Capítulo 4, en la primera sección definimos los qM3−retículos y estudiamos algunas
propiedades válidas en esta clase. En particular, determinamos cómo a partir de
una familia especial de subálgebras de un M3−retículo, podemos obtener un cuantificador
existencial de modo que lo transforme en un qM3−retículo. En la segunda sección, extendemos
la dualidad de Priestley realizada para los M3−retículos con último elemento,
al caso de los qM3−retículos acotados. Empleando esta dualidad, en la tercera sección,
probamos que la variedad es semisimple y obtenemos una caracterización funcional de
los qM3−retículos simples. De igual modo nos abocamos al estudio de las congruencias
principales y booleanas, indicando sus propiedades más destacadas.
El Capítulo 5, está dedicado a los M3−retículos monádicos. En la primera sección,
mostramos propiedades de los mismos y exhibimos la relación existente entre estas álgebras
y los M3−retículos k–cíclicos. En la segunda y tercera sección, presentamos una
dualidad topológica que nos facilita describir las congruencias, probar que la variedad es
semisimple y obtener una caracterización funcional de los mM3−retículos simples. En la
última sección, mostramos, con técnicas topológicas, que se puede interrelacionar ambos
cuantificadores, a pesar que en estas lgebras no es posible hacerlo de la manera clásica,
puesto que la negación de las mismas no se comporta como una negación de De Morgan;
lo que nos permite afirmar que todo qM3−retículo es un M3−retículo monádico. |