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<dc:title>Dualidades en el efecto hall cuántico fraccionario.</dc:title>
<dc:title_english>Dualities in the fractional quantum hall effect.
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<dc:creator>Oda, Yasuo</dc:creator>
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en dos dimensiones con un campo magnético.
Comenzamos por dar una motivación de la materia, de por que es interesante, y de su
interpretación como fenomeno colectivo. Seguimos con una rápida descripción de las
formas clásicas y cuánticas de estudiar el problema, haciendo hincapié de por que esta
ultima perspectiva es particularmente compleja. Haremos hincapié primero en la versión
sin interacciones, para ganar algo de intuición sobre como son los estados cuánticos del
sistema y los niveles de energía. Luego prendemos las interacciones y mostramos por
que un estudio detallado no puede hacerse mediante el método de perturbaciones.
Describimos entonces una forma distinta, no perturbativa, de entender al sistema interactuante:
las dualidades. Si podemos probar que el sistema complejo, fuertemente
interactuante y altamente correlacionado, es dual a un sistema bien conocido y quizás
incluso sencillo, hemos ganado mucho respecto a la visión perturbativa.
En esta línea mencionamos el trabajo pionero de Halperin, Lee y Read, quienes introducen
el concepto de fermión compuesto como una cuasipartícula dual a los electrones
en un campo magnético. Mas recientemente Dam Son propone una nueva dualidad,
destacando la importancia de la fracción de llenado v = 1/2 y motivado por una aparente
carencia de simetría de la teoría HLR, donde el fermión compuesto es en realidad
un fermión de Dirac relativista. El trabajo de Son dio origen a una red de dualidades
que se estudian con técnicas de teorías de campos, y que son nuestro objeto de estudio.
En particular, estudiamos una reciente dualidad supersimétrica conocida como mirror
symmetry y algunos de sus derivados.
A continuación damos un resumen de una herramienta que sera fundamental en el
resto del trabajo: la supersimetría. Introducimos los conceptos basicos de supercampo
y superespacio, junto con las supercargas y los multipletes. En particular nos interesa
describir supermultipletes de N = 4 en 2+1 dimensiones.
Luego pasamos a exponer en detalle la dualidad mirror symmetry. Esta dualidad rela-
ciona dos teorías supersimetricas, que llamaremos teoría A y teoría B. Mas tarde las
identicaremos con el QHE y los fermiones compuestos. La dualidad se aprovecha de
propiedades útiles de la supersimetría para calcular correcciones cuanticas de forma
tanto perturbativa como no perturbativa. Deformaremos luego la dualidad rompiendo
supersimetrías, con el objetivo de encontrar teorías realistas y con la esperanza de obtener
física interesante en el límite de bajas energías. Logramos probar, de hecho, una
dualidad interesante que proponemos es la dualidad de Son.
Profundizamos en el estudio de la dualidad complementando con cálculos numéricos
que nos permiten encontrar observables que de otra forma serían inaccesibles analíticamente.
En particular nos interesa la llamada entropía de entrelazamiento, y de como
es capaz de detectar la existencia de fermiones en una superficie de Fermi a través del
fenomeno conocido como violación logarítmica de la ley de área. Buscamos numéricamente,
entonces, la violación logarítmica de ambos lados de la dualidad, y tratamos de
relacionar ambas visiones mediante la conjetura de que la formula de Widom es valida
incluso en presencia de interacciones.
Para ello recurrimos a dos metodos numericos, primero a la diagonalizacion exacta, y
luego al DMRG. El ultimo ha demostrado ampliamente ser uno de los mas efectivos a
la hora de atacar problemas en una dimensión espacial con correlaciones grandes. Para
poder valernos de el aplicamos una reducción dimensional sobre el problema 2D del
Efecto Hall al ponerlo en un cilindro.
Una vez obtenidos los resultados buscados, tratamos de rescatar la mayor informacion posible filtrando efectos de tamaño finito. Si bien concluir resultados cuantitativos
resulta difícil, vemos claramente la violación logarítmica y la dependencia con la extensividad
del cilindro, lo cual nos hace concluir la existencia de una superficie de Fermi.
También encontramos que la entropía resulta ser una cantidad robusta que depende
poco de variaciones en el potencial aplicado, lo cual también es consistente con la
conjetura de Widom. Por lo tanto, creemos que es una medida interesante que merece
mucha mas atención como herramienta en dualidades y promete ser la fuente de nuevos
trabajos.
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<dc:description_english>In this paper we study dualities on Quantum Hall Effect, the 2 dimensional electrons living in a magnetic field.
We start by motivating the subject, stating why it is interesting and its interpretation as collective phenomena. Next, a quick review of classical and quantum ways of studying this problem, while paying attention to why that the latter is specially difficult. We will treat first the non-interacting case first, in order to gain some intuition about the quantum states of the system, as well as the energy spectrum. Then we turn on interactions and show why a detailed analysis can't be carried on with perturbation methods.
We describe a different point of view, non-perturbative, of understanding the interacting system: dualities. If we can prove that the complex system, strongly coupled and highly correlated, is dual to a well known and perhaps even simple system, then we've gained a lot challenging the perturbative approach.
We first mention the pioneer work of Halperin, Lee and Read, whom introduced the concept of Composite Fermion as a quasiparticle dual to the 2D electrons in a magnetic field. Recently Dam Son proposed a new duality, motivated by an apparent non existing symmetry in HLR theory, and giving the filling filling fraction 1/2 an important role, where the CF is actually a relativistic Dirac fermion. Son's work originated a web of dualities studied using field theory tools, and which are our field of study. In particular, we're interested in a recent supersymmetric duality known as mirror symmetry, and some of its consequences.
Then we quickly explain an esencial tool, fundamental for the rest of the paper: supersymmetry. Introducing basic concepts of superspace and superfields, alongside supercharges and multiples. We're interested in describing supermultiplets with N=4 and 2+1 dimensions.
Next we show the duality known as mirror symmetry. This duality relates to supersymmetric theories, which we will call theory A and theory B. Later we identify them with QHE and CF, respectively. It takes some useful properties of supersymmetry to calculate quantum corrections in a non-perturbative way, as well as perturbatively. We deform the duality by breaking supersymmetries, trying to get more realistic theories, and with the hope of obtaining interesting physics in the low energy limit. We actually manage to prove one interesting duality which we propose is Son's duality.
Deepening into the study of the duality, we back up with numerical calculations which allow as to find otherwise analytically inaccessible observables. In particular we're interested in the entanglement entropy, and how it can be used to detect the existence of fermions in a Fermi surface through the phenomenon known as area law logarithmic violation. We look for the logarithmic violation numerically, on both sides of the duality, and we try to relate both visions using the Widom conjecture, assuming it's validity even in the presence of interactions.
We use 2 different numerical methods, first exact diagonalization, and then DMRG. The latter has widely proven to be one of the most effective method for treating highly correlated one spacial dimensional problems. In order to use it, we apply a dimensional reduction to the 2D Hall Effect problem, by putting it in a cylinder geometry.
Once obtained the desired results, we try to remove finite size effects. Although it's difficult to conclude quantitative results, we see clearly the logarithmic violation and the extensivity in the cylinder dimensions, which leads us to conclude the existence of a Fermi surface. Also, we find that the entropy might be a robust quantity that depends little of variations on the potential considered, which is also consistent with the Widom conjecture. Therefore, we believe that this is an interesting measure that deserves much more attention as a tool used to study dualities and promises to be the source of many more interesting results.
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<dc:date>2017-12-13</dc:date>
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<dc:identifier>Oda, Yasuo (2017) Dualidades en el efecto hall cuántico fraccionario. / Dualities in the fractional quantum hall effect. Maestría en Ciencias Físicas, Universidad Nacional de Cuyo, Instituto Balseiro.</dc:identifier>
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Next, a quick review of classical and quantum ways of studying this problem, while paying attention to why that the latter is specially difficult. We will treat first the non-interacting case first, in order to gain some intuition about the quantum states of the system, as well as the energy spectrum. Then we turn on interactions and show why a detailed analysis can't be carried on with perturbation methods. We describe a different point of view, non-perturbative, of understanding the interacting system: dualities. If we can prove that the complex system, strongly coupled and highly correlated, is dual to a well known and perhaps even simple system, then we've gained a lot challenging the perturbative approach. We first mention the pioneer work of Halperin, Lee and Read, whom introduced the concept of Composite Fermion as a quasiparticle dual to the 2D electrons in a magnetic field. Recently Dam Son proposed a new duality, motivated by an apparent non existing symmetry in HLR theory, and giving the filling filling fraction 1\/2 an important role, where the CF is actually a relativistic Dirac fermion. Son's work originated a web of dualities studied using field theory tools, and which are our field of study. In particular, we're interested in a recent supersymmetric duality known as mirror symmetry, and some of its consequences. Then we quickly explain an esencial tool, fundamental for the rest of the paper: supersymmetry. Introducing basic concepts of superspace and superfields, alongside supercharges and multiples. We're interested in describing supermultiplets with N=4 and 2+1 dimensions. Next we show the duality known as mirror symmetry. This duality relates to supersymmetric theories, which we will call theory A and theory B. Later we identify them with QHE and CF, respectively. It takes some useful properties of supersymmetry to calculate quantum corrections in a non-perturbative way, as well as perturbatively. We deform the duality by breaking supersymmetries, trying to get more realistic theories, and with the hope of obtaining interesting physics in the low energy limit. We actually manage to prove one interesting duality which we propose is Son's duality. Deepening into the study of the duality, we back up with numerical calculations which allow as to find otherwise analytically inaccessible observables. In particular we're interested in the entanglement entropy, and how it can be used to detect the existence of fermions in a Fermi surface through the phenomenon known as area law logarithmic violation. We look for the logarithmic violation numerically, on both sides of the duality, and we try to relate both visions using the Widom conjecture, assuming it's validity even in the presence of interactions. We use 2 different numerical methods, first exact diagonalization, and then DMRG. The latter has widely proven to be one of the most effective method for treating highly correlated one spacial dimensional problems. In order to use it, we apply a dimensional reduction to the 2D Hall Effect problem, by putting it in a cylinder geometry. Once obtained the desired results, we try to remove finite size effects. Although it's difficult to conclude quantitative results, we see clearly the logarithmic violation and the extensivity in the cylinder dimensions, which leads us to conclude the existence of a Fermi surface. Also, we find that the entropy might be a robust quantity that depends little of variations on the potential considered, which is also consistent with the Widom conjecture. Therefore, we believe that this is an interesting measure that deserves much more attention as a tool used to study dualities and promises to be the source of many more interesting results. 2017-12-13 Tesis NonPeerReviewed application\/pdf http:\/\/ricabib.cab.cnea.gov.ar\/653\/1\/Oda.pdf es Oda, Yasuo (2017) Dualidades en el efecto hall cu\u00e1ntico fraccionario. \/ Dualities in the fractional quantum hall effect. Maestr\u00eda en Ciencias F\u00edsicas, Universidad Nacional de Cuyo, Instituto Balseiro. http:\/\/ricabib.cab.cnea.gov.ar\/653\/"
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