Homogenización de autovalores en operadores elípticos cuasilineales
Distintos problemas clásicos de vibraciones mecánicas son modelados con ecuaciones diferenciales, y las frecuencias de vibración corresponden a los autovalores de éstas. Estructuras tales como columnas, placas, membranas o cuerdas, obedecen distintas clases de problemas elípticos (el sistema de ecua...
Guardado en:
| Autor principal: | |
|---|---|
| Formato: | Tesis Doctoral |
| Lenguaje: | Inglés |
| Publicado: |
2012
|
| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/20.500.12110/tesis_n5185_Salort |
| Aporte de: |
| Sumario: | Distintos problemas clásicos de vibraciones mecánicas son modelados con ecuaciones diferenciales, y las frecuencias de vibración corresponden a los autovalores de éstas. Estructuras tales como columnas, placas, membranas o cuerdas, obedecen distintas clases de problemas elípticos (el sistema de ecuaciones de la elasticidad, el laplaciano, el bilaplaciano, ecuaciones de Sturm Liouville). Estos operadores han sido muy estudiados y se conocen numerosas propiedades de sus autovalores, ver por ejemplo los trabajos clásicos de Courant, Hormander, Timoshenko, Titchmarsh, Weinstein [CoHi53, Hor68, Hor07, Ti46] entre otros. Durante el siglo XX, la teoría no lineal generó nuevas herramientas y problemas, y los autovalores son interpretados en este contexto como un parámetro de bifurcación, correponden a valores críticos para los cuales una estructura puede deformarse, colapsar o salir de equilibrio (buckling, bending). Podemos citar como ejemplo los trabajos de Antman, Browder, Berger, y Amann [Am72, An83, Be68, Br65]. En los últimos años, los nuevos materiales han creado nuevos desafíos. En particular, cuando se consideran mezclas de dos o más materiales se van obteniendo mejores propiedades específicas, y gracias a estas mejores características los materiales heterogéneos reemplazan a los homogéneos. Particularmente, materiales compuestos como por ejemplo los polímeros reforzados con fibras de vidrio o fibras de carbono, presentan unas excelentes relaciones rigidez/peso y resistencia/peso que los hace idóneos para determinados sectores productivos, esto hace que vayan desplazando a materiales tradicionales como el acero, la madera o el aluminio. Desde el punto de vista matemático esto significa principalmente que las soluciones de un problema de valores de contorno, que dependen solo de un parámetro pequeño, convergen a la solución de un problema límite de contorno que puede ser explícitamente descripto [Al02, CD99, OSY92, BCR06, SV93]. Un problema interesante, común a muchos problemas diferentes más, es obtener información sobre la existencia de transiciones de fases, situaciones en las cuales la variación del parámetro ε provoca diferentes comportamientos de las soluciones. En este trabajo nos centramos en el estudio de la homogeneización de problemas de autovalores en ecuaciones elípticas con condiciones de contorno del tipo Dirichlet y Neumann. Esta tesis se divide esencialmente en tres partes. Primero, recolectamos propiedades conocidas sobre el espectro del p−Laplaciano, y luego las generalizamos a una familia mas general de operadores. Hecho esto, definimos las nociones de H− y G−convergencia para operadores elípticos. Luego nos centramos en el estudio del comportamiento de integrales oscilantes, esto es, integrales que involucran coeficientes rápidamente oscilantes. En una última parte aplicamos estos resultados al estudio de la homogeneización de problemas de autovalores elípticos y la estimación las tasas de convergencia de los autovalores. |
|---|