Sistemas lagrangianos discretos: existencia de trayectoria.
Un problema básico de la Mecánica clásica es hallar la evolución de cada sistema mecánico. Este problema se traduce, según la formulación variacional (o lagrangiana), al de hallar los extremos de una funcional (la acción) sobre un espacio de caminos; y en última instancia, al de resolver un siste...
Guardado en:
| Autor principal: | |
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| Formato: | Tesis NonPeerReviewed |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
2015
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | http://ricabib.cab.cnea.gov.ar/686/1/Graiff_Zurita.pdf |
| Aporte de: |
| Sumario: | Un problema básico de la Mecánica clásica es hallar la evolución de cada sistema
mecánico. Este problema se traduce, según la formulación variacional (o lagrangiana),
al de hallar los extremos de una funcional (la acción) sobre un espacio de
caminos; y en última instancia, al de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Dado que esto no siempre puede hacerse mediante técnicas analíticas,
es usual hacerlo a través de métodos numéricos llamados, en forma genérica, integradores.
En particular suelen emplearse integradores variacionales pues tienen
en cuenta las estructuras subyacentes del problema en cuestión, como por ejemplo
la conservación de estructuras simplécticas, permitiendo realizar simulaciones
a tiempos prolongados. Los sistemas lagrangianos discretos son sistemas dinámicos
discretos cuyas trayectorias, que se obtienen mediante un principio variacional, son
integradores variacionales.
Para los sistemas lagrangianos continuos existen condiciones muy naturales que
garantizan existencia y unicidad de trayectorias, al menos para tiempos cortos. Motivados
por este resultado, en el presente trabajo estudiaremos el problema de existencia
y unicidad de trayectoria de los sistemas lagrangianos discretos. Veremos que
éstos, en general, pueden poseer trayectorias únicas o múltiples para una misma condición
inicial, y en algunos casos pueden no poseer trayectorias. Probaremos que,
si un sistema lagrangiano posee una trayectoria, entonces posee una familia de trayectorias
con condiciones iniciales cercanas a la primera. Además, estudiaremos los
sistemas lagrangianos discretos que se obtienen al discretizar un sistema lagrangiano
continuo, y veremos que bajo condiciones razonables podremos capturar las propiedades
del sistema continuo y, de esta manera, garantizar la existencia y unicidad
de trayectorias discretas para este tipo de sistema. Presentaremos la mayoría de los
resultados desde dos puntos de vistas (según J. E. Marsden y M. West por un lado,
y según C. Cuell y G. W. Patrick por el otro), y veremos que ambas nociones son
equivalentes.
Finalmente, también estudiaremos el problema de existencia y unicidad de trayectorias
en el contexto de sistemas lagrangianos con fuerza, motivados principalmente
por la conexión con los sistemas lagrangianos con vínculos. Para esto introducimos
una noción (a la C. Cuell y G. W. Patrick) de sistema lagrangiano discreto
con fuerza que no es la usual y, al igual que el caso sin fuerzas, probaremos que
ambas nociones son equivalentes. |
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