Sobre las álgebras de Lukasiewicz m generalizadas de orden n
De las numerosas subvariedades de las álgebras de Ockham, aquella estrechamente relacionada con las álgebras de De Morgan es Km,0 con m > 1, la cual está formada por las álgebras de Ockham que satisfacen la identidad adicional f2m(x) = x. Como las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden n (o...
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| Autor principal: | |
|---|---|
| Otros Autores: | |
| Formato: | tesis doctoral |
| Lenguaje: | Español |
| Publicado: |
2017
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | http://repositoriodigital.uns.edu.ar/handle/123456789/3393 |
| Aporte de: |
| Sumario: | De las numerosas subvariedades de las álgebras de Ockham, aquella estrechamente
relacionada con las álgebras de De Morgan es Km,0 con m > 1, la cual está formada por las
álgebras de Ockham que satisfacen la identidad adicional f2m(x) = x. Como las álgebras
de Lukasiewicz-Moisil de orden n (o Ln–álgebras) tienen un reducto que es un álgebra de
De Morgan, T. Almada y J. Vaz de Carvalho ([1]) consideraron una generalización de las
Ln–álgebras reemplazando dicho reducto por uno que pertenece a Km,0 y, de este modo,
introdujeron la variedad de las álgebras de Lukasiewicz m−generalizadas de orden n (o
Lmn–álgebras).
En esta tesis, nosotros continuamos con el estudio de esta variedad. Al volumen lo
hemos organizado en cinco capítulos. En el Capítulo I damos nociones básicas y hacemos
un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. Además, hemos
incluido una breve exposición sobre la teoría de los cálculos proposicionales extensionales
implicativos standars. Por último, describimos la localización para retículos distributivos
acotados. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para
fijar los conceptos que utilizaremos en el desarrollo de este trabajo.
En el Capítulo II, comenzamos nuestro estudio de las álgebras de Lukasiewicz m–
generalizadas de orden n. En primer lugar, y motivados por el rol fundamental que desempeña la implicación débil en las álgebras de Lukasiewicz de orden n, introducimos una
operación de implicación en las Lmn
–álgebras. Esta implicación nos permitió considerar la
noción de sistema deductivo a partir de la cual caracterizamos a las congruencias. Cabe
señalar que este resultado fue fundamental para describir a las congruencias principales,
de manera más simple que la obtenida en [1] a partir de la teoría de las álgebras de
Ockham. Además, dicha implicación nos permitió definir un elemento fundamental para
obtener una nueva caracterización de las álgebras simples y hallar el polinomio discriminador
ternario para esta variedad. Algunos de los temas estudiados en este capítulo fueron
expuestos en las comunicaciones:
Sobre las m−álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden n, C. Gallardo y A.
Ziliani, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de
Cuyo, 2008.
La variedad discriminadora de las m-álgebras de Lukasiewicz generalizadas de orden
n, LVIII Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la UMA, U.N. de Mar
del Plata, 2009.
Además, se encuentran publicados en [32]:
Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, A.V. Figallo, C.
A. Gallardo y A. Ziliani, Bulletin of the Section of Logic, 39, 4(2010), 187–198.
En el Capítulo III, y con el propósito de hallar un cálculo proposicional para el cual
las Lmn–álgebras sean su contrapartida algebraica, introducimos una nueva operación de
implicación a la que denominamos implicación standard. Ella jugó un papel primordial
en la resolución del problema planteado y nos permitió obtener otra caracterización de
las congruencias. A continuación describimos el cálculo hallado, que denotamos `mn y
probamos que pertenece a la clase de los sistemas proposicionales implicativos extensionales
standards. Finalmente, demostramos el teorema de completitud para `mn. Además,
cabe mencionar que los resultados obtenidos en este capítulo dan respuesta positiva a un
problema planteado en [1]. Algunos de estos resulatdos fueron expuestos en la siguiente
presentación:
On the congruence m-generalized Lukasiewicz algebras of order n, C. Gallardo y A.
Ziliani, XVI EBL and 16th Brazilian Logic Conference, Petrópolis, Brasil, 2011
y han sido publicados en [33]:
The Lmn–propositional calculus, C. A. Gallardo y A. Ziliani. Mathematica Bohemica,
140,1(2015), 11–33.
En el Capítulo IV, desarrollamos la teoría de localización para las álgebras de Lukasiewicz
m–generalizadas de orden n. En particular, para cada Lmn–álgebra L determinamos
el álgebra de fracciones L[C] asociada a un conjunto ^-cerrado C de L. A continuación,
introducimos la noción de 1–ideal en las Lmn–álgebras lo que nos permitió definir una
topología F para ellas y el concepto de F-multiplicador. Luego, a partir de estas nociones
construimos el álgebra de localización LF de L con respecto a F. Además, mostramos que
la Lmn–álgebra de fracciones L[C] es un álgebra de localización. Posteriormente, definimos
la noción de Lmn-álgebra de cocientes y probamos la existencia de la Lmn-álgebra maximal
de cocientes. En la última sección de este capítulo nos dedicamos a analizar los resultados
antes descriptos para el caso de las Lmn–álgebras finitas. En la siguiente comunicación
presentamos algunos de estos temas:
F–multipliers and localization of Lmn
–algebras, C. Gallardo y A. Ziliani, Workshop
Philosophy and History of Science State University of Campinas, UNICAMP, Campinas,
Brasil, 2012
Cabe mencionar que los mismos han sido aceptados para su publicación en Journal of
Multiple-Valued Logic and Soft Computing (2016). ([34])
En el Capítulo V, nos abocamos al estudio de las propiedades de las L2
n–álgebras finitas y finitamente generadas, obteniendo importantes propiedades de los átomos en estas
álgebras. A continuación, describimos detalladamente a las álgebras simples. Además,
determinamos la estructura de las L2
n–álgebras libres con un conjunto finito de generadores
lies. Finalmente, indicamos un método para calcular el cardinal del álgebra libre con
un conjunto finito n de generadores libres. |
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